15. Математические формулы*

15.1. Расположение формул

15.1.1. Формулы, выключенные отдельными строками

Наиболее важные формулы, а также длинные и громоздкие формулы, содержащие крупнокегельные знаки суммирования, произведения, дифференцирования, интегрирования и т.п., выключают в отдельные строки. Таким же образом располагают и все нумерованные формулы. При этом возможна выключка как на середину, так и в левый (иногда в правый) край строки или с небольшой втяжкой.

15.1.2. Формулы, помещенные в подбор одна к другой

Для экономии места несколько коротких однотипных формул, выделенных из текста, можно помещать в одной строке, а не одну под другой (см. 15.8.5).

15.1.3. Формулы, помещенные внутри строк текста

Внутри строк текста размещают прежде всего небольшие и несложные формулы, не имеющие самостоятельного значения. Но и во многих других случаях расположение формул отдельными строками не вызывается необходимостью, и при размещении их в подбор с текстом можно добиться значительной экономии бумаги и сократить

* Математические обозначения, применяемые в формулах, стандартизованы СЭВ (PC 2625—70 “Основные математические обозначения” — см. 16)

объем ручной доработки набранного на машине текста или объем монтажа при фотонаборе (см. 15.8.4).

15.2. Нумерация формул

15.2.1. Использование нумерации

Нумеровать следует наиболее важные формулы, на которые имеются ссылки в последующем тексте. Не рекомендуется, как правило, нумеровать формулы, на которые нет ссылок в тексте.

15.2.2. Форма номера

Порядковые номера формул обозначают арабскими цифрами в круглых скобках у правого края полосы без отточия от формулы к ее номеру. Применяются арабские цифры со строчными буквами (см. 15.2.10) и буквы или звездочки (см. 15.2.11).

15.2.3. Место номера, не умещающегося в строке формулы

Его располагают в следующей строке ниже формулы.

15.2.4. Место номера при переносе формулы

На уровне последней строки. Например:

15.2.5. Место номера формулы в рамке

Вне рамки в правый край против основной строки формулы.

15.2.6. Место номера формулы-дроби

Номер выключают по середине основной горизонтальной черты формулы.

15.2.7. Нумерация небольших формул, помещенных в одной строке

Несколько небольших формул, составляющих единую группу, помещают в одну строку и объединяют одним номером.

15.2.8. Нумерация группы формул, расположенных отдельными строками

Ставят справа от этой группы фигурные скобки, охватывающие по высоте все формулы, — парантез. Острие парантеза находится в середине группы формул по высоте и обращено в сторону номера, помещаемого в скобке против острия в правом крае полосы. Например:

15.2.9. Нумерация группы формул — системы уравнений

В мат. литературе парантез допускается ставить слева от группы формул — системы уравнений, а номер помещать против середины группы формул. Например:

При отсутствии парантеза номер также помещают против середины группы формул

15.2.10. Нумерация формул — разновидностей основной формулы

Формулы — разновидности приведенной ранее основной формулы допускается нумеровать арабской цифрой и прямой строчной буквой русского алфавита, набираемой слитно с цифрой. Например: (14а), (146).

15.2.11. Нумерация промежуточных формул, не имеющих самостоятельного значения

Такие формулы, приводимые для вывода осн. формул, нумеруют иногда либо строчными буквами русского алфавита, набираемыми прямым шрифтом в круглых скобках, либо звездочками в круглых скобках Например: (а), (б), (в), (*), (**), (***). .

15.2.12. Сквозная нумерация формул

Применяется в небольших работах, где нумеруется ограниченное число наиболее важных формул. Такую же нумерацию можно использовать и в более объемных работах, если пронумерованных формул не слишком много и в одних главах содержится мало ссылок на формулы из других глав.

15.2.13. Двойная индексационная нумерация формул

Применяется, как правило, при делении текста на главы и параграфы, когда такая нумерация используется и для других рядов: рубрик, иллюстраций, таблиц. Сначала указывают номер главы (или параграфа), затем ставят точку и приводят номер формулы в данной главе (параграфе). Например: (3.7) — 7-я формула в гл. III; (9.5) — 5-я формула в § 9. Римские цифры для нумерации формул обычно не применяют (хотя в книге номер главы может быть обозначен римскими цифрами).

15.2.14. Тройная индексационная нумерация формул

Применяется при сложной рубрикации, большом числе формул и множестве перекрестных ссылок на формулы из других глав. Например; (7.9. 6) - 6-я формула в § 9 гл. VII.

15.3. Ссылки на номера формул в тексте

15.3.1. Основная форма ссылки

1. При ссылках на какую-либо формулу ее номер ставят точно в той же графической форме, что и после формулы, т.е. арабскими цифрами в круглых скобках. Например: в формуле (3.7); из уравнения (5.1) вытекает и т.п.

15.3.2. Вариант ссылки без определяющего слова перед номером

Употреблять номера без определяющих слов в тексте изданий для массового читателя, учебных изданий для средних учебных заведений не рекомендуется. Например:

Однако в изданиях для хорошо подготовленного читателя (научные работники, студенты вузов, специалисты с высшим образованием) с целью экономии бумаги можно опускать определяющее слово перед номером, т.е. применять вариант, который не рекомендуется для массовых изданий (см. пример выше в правой колонке).

15.3.3. Ссылка на формулу в тексте, заключенном в скобки

Если ссылка на номер формулы находится внутри выражения, заключенного в круглые скобки, то их рекомендуется заменять квадратными скобками. Например. Используя выражение для дивергенции [см. формулу (14.3)], получаем...

15.4. Пунктуация в тексте с формулами

15.4.1. Общее правило

Формула включается в предложение как его равноправный элемент. Поэтому в конце формул и в тексте перед ними знаки препинания ставят в соответствии с правилами пунктуации.

15.4.2. Двоеточие перед формулой

Ставят лишь в тех случаях, когда оно необходимо по правилам пунктуации: а) в тексте перед формулой содержится обобщающее слово; б) этого требует построение текста, предшествующего формуле. Например:

а) В результате получаемследующее соотношение:

б) Таким образом, производную “-го порядка можно выразить через Производные первого, второго, ...,(/* — 1)-го порядков:

15.4.3. Знаки препинания между формулами

Формулы, следующие одна за другой и не разделенные текстом, отделяют запятой или точкой с запятой. Указанные знаки препинания помещают непосредственно за формулами до их номера.

15.4.4. Знаки препинания между формулами при парантезе

Знаки препинания ставят внутри парантеза.

15.4.5. Знаки препинания после определителей и матриц

После таких громоздких математических выражений, как определители и матрицы, допускается знаки препинания не ставить.

15.5. Экспликация к формуле

15.5.1. Применение и состав экспликации

Экспликацию (расшифровку приведенных в левой и правой частях формулы буквенных обозначений величин) принято помещать после всех формул.

В экспликациях может быть опущена расшифровка общепринятых обозначений.

Повторяющиеся обозначения могут не расшифровываться, если формулы расположены близко друг к другу.

При большом числе формул с повторяющимися обозначениями целесообразно поместить в начале или в конце издания список обозначений с их расшифровкой и в экспликации повторяющиеся обозначения не включать.

15.5.2. Последовательность составных элементов

Последовательность расшифровки буквенных обозначений должна соответствовать последовательности расположения этих обозначений в формуле. Если правая часть формулы является дробью, то сначала поясняют обозначения величин, помещенных в числителе, в том же порядке, что и в формуле, а затем — в знаменателе.

15.5.3. Пунктуационное оформление текста с формулой и экспликацией

После формулы перед экспликацией ставят запятую, затем с новой строки от левого края — слово где (без двоеточия после него), за ним — обозначение первой величины и после тире его расшифровку и далее — каждое следующее обозначение и его расшифровку. В конце каждой расшифровки ставят точку с запятой, а в конце последней — точку. Обозначения физ. величин в каждой расшифровке отделяют запятой от текста расшифровки. Например;

Итак, получаем соотношение/

15.5.4. Графическое оформление экспликации

С целью экономии бумаги элементы экспликации рекомендуется располагать, как правило, в подбор. Начинать каждую расшифровку в экспликации с новой строки не рекомендуется, т.к. это ведет к снижению емкости печатного листа. Такой способ оформления экспликации допустим в изданиях с очень небольшим числом формул, когда он практически не ведет к потере бумаги.

15.6. Оформление записи формулы

15.6.1. Скобки

В формулах следует в первую очередь использовать круглые скобки ( ), во вторую — квадратные [ ], в третью — фигурные { }. Например;

Если же круглых, квадратных и фигурных скобок недостаточно, то применяют круглые, прямые и фигурные скобки повышенного кегля. Например:

Иногда в одной и той же формуле многократно используют только круглые скобки. Например:

15.6.2. Коэффициенты

Коэффициенты в формулах следует ставить впереди буквенных обозначений слитно с ними. Например:

15.6.3. Употребление точки на средней линии как знака умножения

Этот знак служит основным знаком умножения.

1. Точку как знак умножения ставят:

а) перед числовым сомножителем: 35 -0,18-5,2; а- 5;

б) для выделения какого-либо множителя;

в) для записи скалярного произведения векторов: а∙b

г) между аргументом тригонометрической функции и буквенным обозначением: a sin x • Ь cos у;

д) между знаком радикала (интеграла, логарифма) и сомножителем:

2. Точку как знак умножения не ставят;

а) перед буквенными символами:

б) перед скобками и после них:

в) перед дробными выражениями и после них:

г) перед знаком радикала (интеграла, логарифма):

д) перед аргументом тригонометрической функции: oq tg wf.

Если вслед за тригонометрической функцией, радикалом, логарифмом и т.п. стоит множитель, представляющий собой буквенное выражение, то следует поменять местами сомножители и тем самым освободитьсяот знака умножения. Например , рекомендуется писать не

15.6.4. Употребление косого креста как знака умножения

Его ставят-.

а) при указании размеров: площадь комнаты 4,5 X 3 м;

б) для записи векторного произведения векторов; а Х b;

в) при переносе формулы с одной строки на другую на знаке умножения.

15.6.5. Многоточие в ряду перечисляемых, складываемых, приравниваемых символов

Применяется в виде трех точек на нижней линии строки. Запятые, знаки сложения, вычитания и равенства ставят перед отточием: и после него. Например:

15.6.6. Многоточие между перемножаемыми символами

В этом случае многоточие не отделяют запятыми и набирают на среднюю линию. Например:

15.6.7. Многоточие и отточие в системах уравнений, матрицах, определителях

Символы, расположенные в виде столбцов, выключают по знаку многоточия. Перед последней строкой ставят отточие на полную строку. Например:

15.7. Переносы в формулах

15.7.1. Место переноса

1. Если формула при наборе не умещается в одной строке, то ее частично переносят на другую строку. В первую очередь перенос следует производить на знаках отношения между левой и правой частями формулы (“=, ”, <, <, >, > и т.д.), во вторую - на отточии (...), знаках сложения и вычитания (-{-, —, ±) и в третью — на знаке умножения в виде косого креста (X). На знаке деления перенос делать не рекомендуется.

При переносе формул нельзя отделять индексы и показатели степени от символов, к которым они относятся. Нельзя также отделять выражения, содержащиеся под знаком интеграла, логарифма, суммы ( £, S), произведения ( П ), от самих знаков.

15.7.2. Обозначение переноса

Знак, на котором производится перенос, оставляют в конце строки и повторяют в начале той строки, на которую перенесена часть формулы. В том случае, когда формула прерывается на отточии, его также повторяют на следующей строке.

15.7.3. Перенос дроби с длинным числителем и коротким знаменателем

Для удобства переноса рекомендуется преобразовать дробь: числитель записать в виде многочлена в скобках, а величину, обратную знаменателю, вынести за скобки. Например, дробь

можно привести к виду

или, если использовать косую черту, к виду

В обоих случаях формулу разбивают переносом на знаке плюс многочлена.

15.7.4. Перенос дроби с коротким числителем и длинным знаменателем

Для удобства переноса рекомендуется записать дробь, используя косую черту в качестве знака деления, как отношение числителя и знаменателя в виде многочленов, взятых в скобки. Можно также заменить отдельные сложные элементы знаменателя условными обозначениями, расшифрованными вслед за формулой. Например, дробь

можно привести к виду Выражение

можно записать так:

15.7.5. Перенос формулы с длинным подкоренным выражением, не умещающимся в формат набора

Такое выражение можно преобразовать, возведя в соответствующую степень подкоренное выражение. Например, формулу

можно записать в виде

Здесь перенос также производят на знаке плюс многочлена.

Дробные выражения можно упростить частичной или полной заменой дробной черты на косую, а также введением десятичных дробей и отрицательных степеней. Например, формулы

можно преобразовать и записать соответственно так:

Указанные способы рекомендуется применять и при обозначении степеней, пределов интегрирования, подстрочных и надстрочных индексов. Например, выражения

следует преобразовать так:

15.8.2. Запись с помощью обозначения ехр

Если показательная функция содержит длинный или громоздкий показатель, то такую функцию рекомендуется записать с помощью обозначения ехр и расположения ее показателя на строке с введением скобок. Например, выражения

следует преобразовать так:

15.8.3. Свернутые формы записи математических выражений

1. Свернутые формы записи обозначений. Например, сумму а\ 4- ач 4-... + а_п можно записать в виде Sa,; произведение а\п2 а_п~ в виде Пя_;; последовательность а\, ai, ..., а_щ ...—в виде {а,}™₌₁.

2. Сокращенные формы записи матриц, определителей и систем линейных уравнений. Например, вместо матрицы

можно употребить краткую запись A=*[a_kl], К £< п, 1< /< п. Используя такую запись, систему уравнений

можно записать кратко в виде АХ=*В, где А =[%], К *:< л, К /< л,

X=(X1, X2, ..., Хп\ # = (&1, Ь2, ..., Ьп).

3. Замена однотипных формул, в которых величины изменяются по одному и тому же правилу, одним выражением.

Для этого используют индексацию так, как это принято в математике. Например, текст

Формулы для первых четырех моментов имеют вид

можно более компактно записать так:

Формулы для первых четырех моментов имеют вид

15.8.4. Расположение формул в подбор с текстом

Ряд несложных и непронумерованных формул размещают в подбор с текстом. Например, текст:

Согласно условию, имеем

рекомендуется расположить в подбор:

15.8.5. Расположение формул в подбор одна к другой

Часто возникает такое положение, когда формулу необходимо выключить в отдельную строку, но в результате мат. действий из этой формулы получается другая, представляющая собой некоторый итог рассуждений. В подобных случаях, если позволяет формат набора, обе формулы можно поставить рядом в строке, соединив их либо союзом или, либо мат. знаками <=> (“равносильно”), => (“следует”). Например, текст

Решая полученную систему, имеем

Запись формул, входящих в систему уравнений, в виде столбца не является строго обязательной, если эти формулы умещаются в одну строку. При расположении в одну строку в предшествующем тексте следует указать, что приведенные ниже уравнения образуют систему.

Иногда некоторую совокупность уравнений ошибочно считают системой уравнений и записывают формулы в столбец, объединяя их парантезом. В подобных случаях уравнения этой совокупности следует записать в строку (без парантеза). Например, в тексте

правильнее записать все формулы в строку.

Прямоугольные и сферические координаты точки связаны соотношениями

Аналогичное положение возникает и в том случае, когда неоправданно помещают одну под другой несколько однотипных пронумерованных формул. В таком случае все формулы следует поместить в одной строке и дать под одним номером Напр., текст

Координаты центра тяжести дуги находят по формулам

необходимо расположить следующим образом:

Координаты центра тяжести дуги находят по формулам

Изменить ссылки на первоначальные номера формул легко. Например, если нужно сослаться на формулу для выражения координаты /, следует написать: по второй из формул (1).

15.8.6. Отказ от элементарных числовых выкладок

следует записать:

В научно-технической литературе не следует приводить все промежуточные преобразования в формулах, в особенности элементарные по характеру. Следует давать наиболее важные и характерные из таких преобразований. Например, вместо такого ряда формул:

15.8.7. Замена громоздких выражений символами

Часто над одним и тем же громоздким выражением производятся различные преобразования. Такое выражение следует заменить каким-нибудь символом и использовать это обозначение в последующих преобразованиях. Например, текст

15.8.8. Преобразование текста с целью компактного размещения формул

Нередко обязывается полезным такое изменение структуры текста, при котором ряд однотипных формул помещается в одной строке. Этот прием особенно эффективен, если приходится иметь дело с системами уравнений, матрицами и определителями, которые занимают большую площадь. Например, текст

на 3 и вычитая ее из 2-й строки, получаем

Переставив теперь 2-й и 3-й столбцы, имеем

Умножив 1-ю строку матрицы

можно более компактно записать так:

Выполним над матрицей следующие преобразования:

Мы умножили 1-ю строку на 3 и вычли ее из 2-й, а затем переставили 2-й и 3-й столбцы.

15.8.9. Перевод текста с формулами в таблицу

В тех случаях, когда мат. текст носит вспомогательный, справочный характер (например, теоретический материал в задачнике), нередко оказывается полезным перевести группу формул в таблицу, более наглядную и компактную по структуре. Например, текст

1. Если С ==■ 0, то уравнение принимает вид Л х +■ Ву = 0. Это —уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Если /4=0, то уравнение имеет вид у = —С/В или у=- b и выражает уравнение прямой, параллельной оси Ох.

2. Если В = 0, то уравнение имеет вид к = -С/А или х=* а и выражает уравнение прямой, параллельной оси Оу.

4. Если А = С = 0, то уравнение примет вид у = 0. Это — уравнение оси Ох.

5. Если В = С = 0, то уравнение примет вид х = 0. Это - уравнениеоси Оу

можно перевести в следующую таблицу:

15.8.10. Перенос ссылок на формулы из текста в формулы

Иногда ссылки на формулы можно расположить над соответствующими знаками равенств в произведенной цепочке преобразований. Например;

15.8.11. Использование современной символики

Большие возможности для компактной записи текста и формул дает современная мат. символика. Наиболее употребительны следующие мат. символы; =*•, •**” — знаки следования и равносильности; с, се - знаки принадлежности; U, П - знаки объединения и пересечения множеств; V-знак квантора общности (означает “для любого х”); 3 - знак квантора существования (означает “существует такое х”). Например, текст

Если р принадлежит а, то а и р параллельны. Пусть р не принадлежит а. Проведем плоскость р, которая содержит линию пересечения прямых о и q. Так как q принадлежит а (по условию) и q принадлежит р (по построению), то q есть прямая пересечения плоскостей аи р. Допустим, что теорема неверна, т.е. р не параллельна а. Тогда существует точка С пересечения прямой р с плоскостью а с помощью использования математической символики примет такой вид:

15.9. Разметка формул

15.9.1. Общие правила

Чтобы гарантировать правильный набор формул, их следует тщательно разметить:

1) обозначить черточками под и над буквами прописные и строчные буквы, не различающиеся по начертанию;

2) обозначить под символами, индексами и мат. обозначениями, шрифтом какого начертания они должны быть набраны (прямой, курсив, полужирный);

3) обвести красным карандашом буквы греческого алфавита, синим — готического;

4) во всех сомнительных случаях пояснить на поле, какую букву или знак следует набрать (в т.ч. спец. мат. знаки);

5) пояснить или прорисовать все смешиваемые при наборе знаки, цифры, буквы; например: О (ноль) и О (буква), X (знак умножения) их (икс), единица арабская и римская, штрих ' и показатель степени, равный единице 1

6) разметить корректурными знаками положение верхних и нижних, одинарных и двойных индексов.

15.9.2. Указания о переносах и отбивках

Целесообразно при разметке;

1. Указать место вероятного переноса в длинных формулах, чтобы избежать правки в наборе.

2. Обозначить в необходимых случаях отбивки (места отбивки указаны двойной чертой). Например: а) между символическим обозначением функции и аргументом: sin II х; In й х;

б) между подынтегральной функцией и дифференциалом:

Оглавление